EL MATEMATICO

   Escribió obras que sirvieron como libros de texto, tales como:

 
CURSO DE ALGEBRA

MATEMATICA MODERNA
 

   Pero indudablemente su obra más importante fue “LA MATEMATICA DE LOS AZTEKAH”. Obra en la cual pone de manifiesto el gran adelanto matemático, que nuestros antepasados tuvieron; a pesar de los detractores sobre lo nuestro, que nos consideraban un pueblo de salvajes y otras muchas cosas más.
 

   Insertamos algunos capítulos de la obra mencionada.

P R O L E G O M E N A
 

   Hace muchos años se especula por parte de los aficionados a la Historia sobre el modo de ser de la Matemática de los antiguos Azteka-Metzika-Tenoçka.

   Algunos antiguos cronistas aseguraron que no sabíamos contar más de veinte, otros menos exigentes y más benévolos dijeron que sabíamos contar hasta ocho mil. Ello demostró más que la mala fe de los cronistas, la verdadera ignorancia sobre las posibilidades de la ciencia misma.

   En años pasados y bajo el impulso de la siempre estimable sociedad Wey Tlatekpanaliztli Ikniuhtik Aztekatl, cuya tarea consistió en propiciar los estudios de la cultura nuestra y realizar las investigaciones más serias; se lograron una serie de trabajos importantes que dieron un panorama real del avance de la ciencia matemática entre los antiguos hombres de nuestra raza. Esos trabajos sintetizados se publican ahora en el presente volumen y se acompañan con algunos trabajos anteriores realizados esporádicamente y fuera de toda disciplina organizada en la materia, siendo trabajos entusiastas de parte de elementos de nuestro pueblo que deseaban legar algo de sus conocimientos; ejemplo de ello es el trabajo con que se inicia el presente volumen debido a la pluma de Faustino Galicia Çimalpopoka cuyo manuscrito se encuentra en el Museo Nacional y en el que el autor, en ocasiones, pone a divagar su imaginación emite opiniones un tanto inciertas. Al hacer la publicación nosotros en el presente caso, omitimos esos pasajes en los que el autor ha incurrido en equívocos que son muy contados, dos o tres. Y continuamos con el curso correcto del tema.

   Así que  el presente volumen está formado por diversos estudios de distintos investigadores modernos, todos ellos miembros de la W.TL. I. Aztekatl y que dada la importancia de sus trabajos para el conocimiento de la moderna Matemática Europea y para una valoración justa de nuestra antigua sabiduría son indispensables para toda persona culta.

LOS MATEMATICOS AZTEKAH ANTIGUOS
  

EL ORIGEN Y MODO DE CONTAR DE LOS INDIOS

Por Faustino Galicia Çimalpopoka

   En mexicano se forma la numeración de cinco en cinco, comenzando con el:

Ze                   uno

Ome                dos

Ei                    tres

Nawi               cuatro

Makuilli          cinco

   Este nombre Makuilli significa el que recibe la mano, o una capacidad formada por la mano, para recibir algo.

   Los indios al ir contando en otro tiempo fueron doblando los dedos para formar una especie de vaso. Porque así lo dice y da a entender Makuilli; makuikapize derivación de Maitl, mano y del verbo kuilia tomar algo o makuitlaten naciendo de Maitl, y del verbo kuetloa, doblar, convirtiéndose en makuillo, combinación de estos dos últimos en Makuilli, resultado de las dos primeras, es decir de Maitl y kuilia.

   Al lado de la primera capacidad formaran otra valiéndose de las dicciones çiua y çiko, que significa a un lado, al lado de, çikua para el primero Ze y çiko para el segundo y para los demás, desde el segundo, ome y así continuamos con la segunda unidad y al lado del primer Quinario, dijeron çikuaze seis, o uno al lado del primer Quinario, çikome, siete o dos al lado del primer Quinario, çikuei, ocho o tres al lado del primer Quinario, çiknaui, nueve o cuatro al lado del primer Quinario, hasta formar la segunda capacidad con la segunda mano al lado de la primera, cuya inmediación o juntura de dos vasos de las manos expresaron con el nombre de Matlaktli.

   Este Matlaktli se deriva de Maitl y de la preposición tlok junto, cerca, etc.,  que en composición con la primera o en principio de nombre sustantivo, abstracto toma tli por final como el adjetivo kualli bueno tomando otl forma kuallotl, para significar bondad. Así es que Tloktli substantivo abstracto significa juntura, inmediación, cercanía, etc., y Matlaktli substantivo abstracto compuesto expresa juntura de manos o puños.

   Algunos quieren derivar el nombre de Matlaktli de las palabras Maitl mano y de Tloktli en la significación del cuerpo del hombre desde la cintura para arriba. Más yo me atengo a los componentes de Matlaktli a su objeto y efecto. Se dirá tal vez que no todas las cosas contables como vigas, peñas, árboles, etc., forman PUÑADO y que así mal podía decirse que Makuilli tenga origen de la formación de PUÑADO pero a esto se puede contestar, que el principio del modo de contar de los indios consistió en cosas que forman PUÑADO. Esto lo dice la forma de las unidades que se encuentran en sus calendarios, cronologías, tributos y demás signos jeroglíficos que es CIRCULAR O GLOBAL, lo demuestra el Xikipilli con que siendo una bolsa que contiene granos y no bueyes significan una cantidad de las primeras.

   Lo que sucedió fue que este modo de contar que consistió en ir doblados los dedos para formar, según se ha dicho el recipiente de tantos granos cuantos eran los ELEMENTOS del vaso quedó adoptado para las demás cosas.

   Aunque no cupieran en las manos. De aquí resulta que un PUÑADO es un Makuilli, cinco o un quinario por componerse de cinco dedos doblados. Luego dos PUÑADOS son un Matlaktli o Dinario.

   Formada la cantidad de diez expresada, con el nombre de Matlaktli, y atentos los indios que tenían como puntos cardinales para la invención de sus modos de contar veinte dedos del cuerpo, es decir diez en las manos, y otros diez en los pies, considerando que no podían formar con estos otro vaso, no se valieron del término que significa JUNTURA sino de la partícula OK que significa ACRECENTAR así que continuaron diciendo:

   Matlaktli ok ze diez acrecentado uno

   Matlaktli ok ome diez acrecentado dos

   Matlaktli ok ei diez acrecentado tres

   Matlaktli ok nawi diez acrecentado cuatro

hasta llegar al número Kaxtolli.

   Este Kaxtolli que ha quedado con la significación de quince, está representado por un vaso o plato REDONDO Y CONCAVO que usaban los indios para servir en él caldo, Atolli, y otra cosa líquida así lo da a entender su análisis porque se deriva del nombre Kaxitl, plato, escudilla y del verbo tolva sorber, beber, etc.

   Y para significar que este utensilio representaba tres Makuilli,  tres quinarios o tres recipientes, lo construían con tres pies, puede verse algunos platos que aún existen en el Museo Nacional.

   Se dirá tal vez que si este nombre se deriva de Kaxitl y del verbo tolva seguramente dicen Kaxitolli. A esto se puede contestar que la mala pronunciación hace emitir, algunas letras en segundo lugar que aunque la respectiva gramática establece que los, nombres acabados en tl pierden esta terminación sin embargo pone excepción en los acabados en itl que pierden toda la silaba itl, v.r: tlankuakoloa (verbo de aspecto definido que se conjuga en este caso como tla) doblar rodilla compuesto de Tlankuaitl, rodilla y del verbo kolloa, doblar en el que ciertamente se ve que se omite la silaba –it- de Tlankuaitl.

   Ordenando el número quince con el nombre de Kaxtolli, continúan diciendo:

   Kaxtolli ok ze quince acrecentado uno

   Kaxtolli ok ome quince acrecentado dos

   Kaxtolli ok ei quince acrecentado tres

   Kaxtolli ok nawi quince acrecentado cuatro

y para mayor significación y suavidad en la pronunciación dijeron expreso: Kaxtollokze 16, Kaxtollokome 17, Kaxtollokyei 18, Kaxtolloknawi 19, hasta llegar al nombre Zenpohualli Gran Cuenta. Este Zenpohualli quiere decir UNA CUENTA una Suma, se deriva de la pasiva de pohua el verbo pohualli, contar y del cardinal Ze, y se dice también Zempohualli para significar gran cuenta, según se dirá adelante.

   Con el mismo nombre de Zempohualli, significan veinte porque hasta allí apuntaron tal cantidad los dedos de las manos y de los pies, y dijeron Zempohualli una cuenta, suma o total, por no haber ya suficientes ELEMENTOS en el cuerpo para adoptar nombre característico.

   Así es que este total lo significaron por medio de una bandera real, cuadrada dividida en cuatro partes, con dos líneas cruzadas por en medio siendo una horizontal y la otra vertical representando las dos porciones superiores los dos quinarios de los dedos, las manos y las otras dos inferiores los otros dedos de los pies. Así se ve en el Pantli que se encuentra en los calendarios, tributos, etc. No obstante haberse acabado los puntos cardinales, juzgaron que la Numeración podía formarse hasta INFINITO. Así que volvieron a comenzar desde el Ze del primer Quinario siguiendo el orden establecido hasta ajustar el segundo (zen) pohualli u otra cuenta, que venía a ser Omepohualli. Que en significación decían Omepohualli 40 o dos veintes sumas  de las cuentas de los dedos. Así volvían a comenzar desde el primitivo Ze hasta formar la tercera, cuarta, quinta suma expresada con los nombres:

Eipohualli 60 tres veintes

Nawilpohualli 80 cuatro veintes

Makuilpohualli 100 cinco veintes

Çikuazenpohualli 120 seis veintes

Çikomepohualli 140 siete veintes

Çikueipohualli 160 ocho veintes

Çiknawipohualli 180 nueve veintes

Matlakpohualli 200 diez veintes

hasta llegar a Zempohualli pohualli 400 veintes o 20x20.

   Estos cuatrocientos los expresaban con los nombres de Zetzontli o Zentzontli, el Zentzontli se compone de Ze uno y de Tzontli cabello, cabellera. La razón de este compuesto, en que cabellera contiene gran cantidad de representantes de los dedos, cuales son los cabellos, y aunque el Tzontli, significa cabello aquí se toma como cabellera lo mismo que en idioma latín comale (sic).

   El otro nombre Zentzontli indica gran cabellera, gran cuenta, gran suma, primero porque 400 en comparación de 20 es gran suma y lo segundo porque Zen parte componente significa gran y Tzontli cabellera. No obstante todo esto, el símbolo de cuatrocientos no es la misma cabellera sino una pluma, a causa de que esta ha sido la insignia real y característica de los caballeros que la portaban y portan en la cabeza porque además de sus cemilles (sic) se compone de pelusas semejantes a los cabellos.

   Formando el Zentzontli o Zetzontli de la manera que se ha explicado volvían a contar desde el Ze del primer quinario hasta el segundo Tzontli, que es lo que se expresaba con Ometzontli o significándolo decían Ontzontli dos cabelleras, dos 400 u 800. En seguida si así lo exigía la importancia de contar formaban la tercera, cuarta, quinta, etc. Tzontli diciendo:

Eitzontli                   3x400        1200

Nawitzontli              4x400        1600

Makuiltzontli           5x400         2000

Çikuazentzontli       6x400         2400

Çikometzontli         7x400         2800

Çikueitzontli           8x400         3200

Çiknawitzontli        9x400         3600

Matlaktlitzontli       10x400       4000

hasta ajustar Zenpohualtzontli 20x400, 8000. Algunos dicen que habiendo llegado los indios a la cantidad de 8000, la expresaban con el nombre de Xikipilli. Así lo asegura el esclarecido señor Antonio León y Gama en su descripción histórica y cronológica de dos piedras encontradas en la Plaza Principal de esta capital y el padre Molina en su vocabulario de la Lengua Mexicana. Más yo creo que siendo cierta esta aserción, muy pronto se les acabaría a los indios los términos para expresar las cantidades máximas o inferiores; porque Xikipilli era el último término y como este significa según ellos ocho mil resulta que los mismos indios no podían ya continuar contando y por lo tanto no podían contar sino hasta esa cantidad lo cual se opone a las sublimes ideas que tenían de unas cosas y las INFINITAS DE OTRAS. (Nota. Se suprime aquí una discusión del autor que no tiene los conocimientos matemáticos convenientes y que por poder ocasionar confusión en los lectores, es preferible no introducirla, siento mejor continuar lo correcto). El nombre de Xikipilli trae su origen de Xictli ombligo gran centro o CONJUNTO DE COSAS y de Pilli caballero, cosa real, noble o insigne. No se dice Xiktlipilli porque según las reglas de la gramática, en la composición de Xictli con otro nombre, piérdese la terminación tli y la ka se convierte en ki  por parecer que así suena y principalmente para suavizar la pronunciación porque es más áspera decir Xikpilli, que Xikipilli, aunque se escriba del primero modo.

   Los indios se valieron de la parte media del cuerpo del hombre cual es el ombligo para expresar o significar la cantidad en su numeración; porque juzgaron y creyeron filosóficamente que esa parte era y es del hombre el principal NUDO o boca del vientre en que se verifica lo grande y continua concurrencia de las circunstancias que causan las vicisitudes del mismo hombre. De suerte que los mismos indios opinaron que los ELEMENTOS de sus cálculos NO ESTABAN SINO EN EL HOMBRE por ser este el todo y así comenzando por los dedos fueron tomando los puntos más nobles hasta llegar gradualmente al Keçkoçtli que es del centro de que hablan las mejores plumas.

   Otros dicen que Xikipilli se deriva de Xiuhtlalpilli ATADURA DE AÑOS. Más creo que esto es una equivocación, porque Xiuhtlalpilli se refiere o significa épocas determinadas de los indios y a periodos de Gobierno de sus Emperadores y Reyes. Así estaba establecido entre los Tulteka Çiçimeka y los mismos Azteka (Tenoçka), es decir que cada uno de sus Supremos Jefes no habían de durar en el Gobierno sino solo cincuenta y dos años, y cuando alguno de ellos los cumplía, se decía que había ajustado, cumplido o amarrado el número, número determinado de años decretado por el Senado.

   Observan también que de tal a tal acontecimiento  había pasado cierto período  notable del tiempo que formaba la época y para comenzar la nueva cerraban atándola a la primera llamándole Xiuhtlalpilli ATADURA o Manojo o Finiquito de años. Luego se ve según esto que no son una misma cosa Xikipilli que Xiuhtlalpilli por los respectivos símbolos.

   El del primero es una gran bolas con la boca plegada a manera de ombligo con unas correas introducidas por unos agujeros que tienen en los pliegues, y el segundo es un manojo de yerbas atadas por su medianía. Además Xiuhtlalpilli se compone de Xiwitl, año y yerba, cosa verdiosa que en composición invierte la sílaba wi en iu y del verbo tlapilli Cosa atada, del verbo tlapia amarrar, atar, etc. y Xikipilli se ha dicho de donde deriva.

   Formada la cantidad Xikipilli volvían a comenzar desde el primer Ze del primer quinario y pasando por Makuilli, Matlaktli, Kaxtolli, Zenpohualli, Tzontli y el primer Xikipilli llamándola:

      Onxikipilli       dos ocho mil

   De esta manera continuaban formando la tercera, cuarta, etc. cantidades hasta llegar a Zenkipilli Xikipilli es decir CUADRAR Xikipilli como lo hacían con el Zenpohualli, Zentzontli, etc.

   En nuestra lengua tenemos tres números mayores y más principales que son: diez, ciento, mil. Y por estos y por los números menores que son contados desde uno hasta diez, se va multiplicando toda la cuenta. Primero de diez en diez; después de ciento en ciento, y después de mil en mil, ayudándose también del número menor cuando es necesario; y así decimos: once, doce, trece, etc. Y también veinte y uno, veinte y dos, veinte y tres. Donde parece preceder siempre el número mayor al menor e irse por el multiplicando.

   En la lengua mexicana, hay también otros tres números mayores, y son veinte, cuatrocientos, y ocho mil. Para estos números mayores usan de estas dicciones: pohualli, tzuntli y Xikipilli; aunque no pueden estar sin que les preceda alguno de los números menores, como parecerá en la cuenta. El número menor es de uno hasta veinte, y llegando a veinte tornan a contar y multiplicar por el número menor hasta otros veinte y llegando, dicen: dos veintes, que son cuarenta; tres veinte, que son sesenta; cuatro veinte, ochenta, cinco veinte, son cien. Y cuando multiplican, el número mayor, anteponen el menor, como zenpohualli veinte; onpohualli cuarenta, yeipohualli sesenta. Pero para multiplicar por el número menor juntamente con el mayor, siempre posponen el número menor al mayor, diciendo: Zenpohualli onze, veinte y uno, etc

   Y es de notar que este número de veinte se va multiplicando de la manera ya dicha, hasta cuatrocientos, que dicen Zentzuntli y de este número hasta ocho mil, que es el otro número mayor, se va multiplicando la cuenta en la manera ya dicha, y así se multiplica este número mayor de cuatrocientos en cuatrocientos diciendo: Zentzuntli cuatrocientos, ome tzuntli ochocientos, yei tzuntli mil doscientos, etc. Y cuando hay necesidad de contar, o multiplicar los números intermedios, ha de ser por veintes, y por el número menor, que es desde uno hasta veinte, posponiendo siempre, como está dicho, el número menor al mayor. La misma manera se ha de guardar para multiplicar de ocho mil en adelante, que dicen Zenkipilli ocho mil, ome Xikipilli diez y seis mil, yei Xikipilli veinti cuatro mil, etc., aprovechándose de los números menores para multiplicar la cuenta, anteponiendo siempre los números mayores a los menores, como está dicho. Ejemplo; para decir: Ocho mil ochocientos cincuenta y dos, se dirá: Ze Xikipilli ihuan ome tzuntli onpohualli ihuan matlaktliomomo, donde parece a la clara que los números mayores siempre preceden a los menores como lo vemos en castellano.

   Y es a saber que la cuenta general, que es uno, dos, tres, etc. en esta lengua muchas veces se varía y diferencia en los vocablos, conforme a la diferencia y diversidad que hay de las cosas y lo mismo será en las particulares que de ellas salen, y no es como en castellano, que todo lo que se cuenta es por unos mismos vocablos, porque de cualquier cosa decimos (contándola) uno, dos, tres. Más en esta lengua hay diferentes vocablos, y por esto será necesario poner todas las diferencias que hay.

LA NUMERACION METZIKA EN SUS PINTURAS Y MONUMENTOS NUMERALES.

   Manuscrito antiguo existente en

   La colección llamada:

   “Papeles Metztli”

   Conviene saber que la numeración nuestra es muy ingeniosa, está en relación íntima con el ser humano tanto la escrita como la hablada.

   Nuestra cuenta está basada en los dedos de una mano, para después pasar a la otra mano y los dedos de los pies.

   Un dedo representa en este lenguaje, una Unidad, dos dedos, dos unidades, tres dedos tres unidades, etc.

   Posteriormente, la unidad representada por el dedo se redujo a ser representada por una uña, dos unidades, dos uñas, y así hasta 19 en un principio.

   Pero pronto se hizo una nueva simplificación y se dibujó una bola y de ahí nació la escritura de unidades en forma de bolas, ruedas o puntos, colocadas en diferentes agrupamientos.

   Los cinco primeros números son por lo mismo dígitos, que tienen nombre especial: Ze uno, Ome dos, Yei tres, Nawi cuatro, y Makuilli cinco.

   Este número fue la base del sistema de numeración más antiguo o sea el Quinario.

   La voz Makuilli tiene una significación especial, se compone de las voces Maitl mano y del verbo kui esculpir. Se representó primitivamente por una mano abierta, porque para indicar un elemento se representaba con un dedo mientras los otros estaban doblados formando nudo y a medida que se contaba iban desdoblando los dedos para formar una mano abierta.

   Así Makuilli significa mano esculpida.

   Para seguir la numeración en este caso vuelven a repetir el número Ze uno, agregándolo por lo que forman el vocablo Çikuanze seis. De esta misma manera se siguen contando y agregando dos, tres, cuatro lo que da los vocablos Çikome, Çikuei, çiknaui, 7, 8, 9.

 

   El número siguiente que es diez se nombra con la palabra diferente que es Matlaktli que quiere decir “tramado como red”. Porque viene del verbo matlaktia, que es hacer el tejido  de la  malla o  red,  según afirmaban

los antiguos porque ponían las manos formando un hueco de red u hoyo de la malla y como si estuvieran tejiendo.

   El número diez que en tiempos antiguos se represento por las manos formando un hoyo de malla, se simplificó usando la figura del hoyo de la malla misma.

   También se estilizó representar el diez con un doble círculo.

   Cuando ya se tiene un Matlaktli se agregan los dedos de uno de los pies, de la manera siguiente:

   Matlaktli uan ze que es diez y uno; o también dicen Matlaktli on ze que es diez crecido uno porque hay que saber que esta partícula ON significa crecer una cosa, extenderse una cosa, ampliar algo y como a diez se le amplia entonces expresan bien el dicho Matlaktli on ze. Si embargo esta palabra requiere que se corte la primera y se simplifique diciendo correctamente:

   Matlakonze         once

   Matlakonome      doce

   Matlakonyei        trece

   Matlakonnawi     catorce

   Y para decir quince, emplean otra palabra que es Kaxtolli. Lo cual quiere decir “lo tenido en un vaso”, vasija o recipiente como cuenco.

   A Kaxtolli se agregan los dedos del otro pie de la manera siguiente:

   Kaxtolonze

   Kaxtolonome

   Kaxtolonyei

   Kaxtolonnawi

y de aquí se pasa a la primera cuenta que es Zenpoalli que son veinte. Esta palabra Zenpoalli se compone de zen que aquí quiere decir primera, o sea una de partida o iniciada la cuenta que es Poalli.

   Este vocablo es el genérico de la idea de hacer la cuenta pero se usa de otros vocablos para expresar veinte, por ejemplo, es más frecuente en las cosas de la actividad decir Zen Pantli, (primera Bandera) o primera hilera, para expresar que se han puesto las unidades una seguida de otra hasta hacer el Primer Orden que esto también significa Pantli. Y también usa de la voz Zen Pilli y así de otras según las cosas que se vayan a contar.

   Algunos dicen que el veinte salió del cuerpo del hombre que es la cuenta completa de los dedos de las manos y pies o sea la cuenta de las uñas y se representó primitivamente por los brazos extendidos y las piernas formando una bandera.

   Pero como está compuesto el veinte de cuatro Quinarios, se dividió la bandera o Pantli en cuatro cuarteles que cada uno representa un Makuilli, para ello dividieron con dos líneas, una horizontal y otra vertical de por medio el lienzo de la bandera.

   Para continuar la cuenta se vuelve al Ze que se le agrega a veinte al final de este modo.

   Zenpoalli uan ze     veinte y uno o bien se dice:

   Zenpoalli on ze       veinte crecido uno

   Zenpoalonome         veinte crecido dos

   Zenpoalonyei           veinte crecido tres

   Zenpoalonnawi        veinte crecido cuatro

   Zenpoalonmakuilli   veinte crecido cinco

y de este modo repitiendo  todos los diecinueve primeros números llega a decirse: Ome Poalli dos veintes cuarenta que simplificado usando la multiplicación es Onpoalli dos veces veinte o se entiende cuarenta. Eipoalli tres veces veinte o sesenta, así sigue hasta diecinueve veces veinte, porque la nueva unidad se forma con veinte veces veinte que es Tzontli cuatrocientos.

   Zentzontli que en nuestra lengua quiere decir primer atado de fibras, como las tiene el tronco del árbol llamado Tzonpantli o de flor de colorín, que se compone de una madera muy ligera y blanca, constituida de muchas fibras y que se ha utilizado para fabricar tapones para barriles y botellas.

   Una vez conocida la nueva unidad, se comienza del Ze primero poniéndolo después del Tzontli.

   Zetzontli uan ze cuatrocientos y uno; o bien Zetzontlionze y de ese modo repitiendo se llega hasta veinte veces cuatrocientos: Zenpoaltzontli que recibe el nombre de Xikipilli y expresa una escarcela o bolsa de dinero.

   De esta manera se puede ir contando infinitamente porque la cuenta no tiene fin. Así se verá que con solo repetir Xikipilli, Xikipilli es un gran número de cosas y que se indica por sesenta y cuatro millones o sea 64 000 000 y esto es nada comparado con lo que se puede seguir contando con otras unidades como la Keçkoçtli y la Zitlalkoçolli, que es estrella con celdillas a manera de cuadricula.